Devoir libre 1.¶

Exercice 1. Montrer, pour tout $n \in \mathbb{N}^{*}: 1+\frac{1}{2^{3}}+\frac{1}{3^{3}}+\cdots+\frac{1}{n^{3}} \leq \frac{3}{2}-\frac{1}{2 n^{2}}$.

Exercice 2. Dans cet exercice, on établit deux inégalités : d’une part,

et d’autre part,

où sh, ch et th sont les fonctions définies sur $\mathbb{R}$ par

(1) Première inégalité (a) Factoriser complètement le polynôme $2 X^{3}-3 X^{2}+1$. (b) En déduire, pour tout réel $t \in] 0, \frac{\pi}{2}$, l’inégalité $2 \cos ^{3}(t)-3 \cos ^{2}(t)+1>0$, (c) Etablir alors l’inégalité $2 \sin (x)+\tan (x)>3 x$ pour tout $x \in] 0, \frac{\pi}{2}[$. (2) Deuxième inégalité (a) Etablir pour tout réel $u>1$, l’inégalité : $3 \ln (u)<\frac{\left(u^{2}-1\right)\left(u^{2}+u+1\right)}{u\left(1+u^{2}\right)}$ (b) En appliquant l’inégalité avec $u$ convenablement choisi, établir pour tout réel $x>1$, l’inégalité :

(c) Montrer que l’inégalité $\frac{\partial}{0} \frac{\ln (x)}{x-1}<\left(\frac{1+x^{\frac{1}{3}}}{x+x^{\frac{3}{3}}}\right) \frac{2}{r}_{\text {reste }}$ vraie pour $0<x<1$. (d) Déduire de (b) et (c), pour tout réel $u>0$, l’inégalité

(e) Etablir alors, pour tout réel $x>0$, l’inégalité : $2 \operatorname{sh}(x)+\operatorname{th}(x)>3 x$.

Exercice 3. On considère le plan muni d’un repère orthonormal. On colorie chaque point du plan en rouge ou en vert. (1) On suppose dans cette question que la propriété suivante est vérifiée :

Propriété 1. Quels que soient les points $A\binom{x_{A}}{y_{A}}$ et $B\binom{x_{B}}{y_{B}}$ du plan, si $x_{A}=y_{B}$ alors au moins l’un des deux points A ou $B$ est vert. (a) Montrer qu’il existe une droite entièrement verte. (b) Montrer qu’il existe une droite parallèle à l’axe des ordonnées entièrement verte. (2) On suppose maintenant que la propriété suivante est vérifiée :

Propriété 2. Quels que soient les points $A$ et $B$ du plan, si la distance $A B$ entre ces deux points vaut 1 , alors $A$ et $B$ sont de la même couleur.

Montrer que tous les points du plan sont de la même couleur.