4 Calculs algébriques.¶

4.1 Sommes simples¶

4.1.1 Propriétés du symbole $\sum$¶

Soient $n \in \mathbb{N}^{*}$ et $a_{1}, a_{2}, \ldots, a_{n}$ des nombres complexes. On désigne par $\sum_{k=1}^{n} a_{k}$ la somme de tous les nombres complexes $a_{1}, a_{2}, \ldots, a_{n}$, c’est-à-dire

Plus généralement, si $1 \leq p \leq n$ alors

Proposition. Soient $n \in \mathbb{N}^{*}, p \in \mathbb{N}^{*}$ et $\lambda, a_{1}, a_{2}, \ldots, a_{n}, b_{1}, b_{2}, \ldots, b_{n}$ des nombres complexes. (1) $\sum_{k=p}^{n}\left(a_{k}+b_{k}\right)=\sum_{k=p}^{n} a_{k}+\sum_{k=p}^{n} b_{k}$ (2) $\sum_{k=p}^{n}\left(\lambda a_{k}\right)=\lambda \sum_{k=p}^{n} a_{k}$ (3) $\sum_{k=1}^{p} a_{k}+\sum_{k=p+1}^{n} a_{k}=\sum_{k=1}^{n} a_{k}$

Exemple. Réexprimer les sommes suivantes avec le symbole $\sum$ (1) $1+2+3+4+\cdots+24$ (2) $1^{2}+2^{2}+\cdots+17^{2}$ (3) $1-2+3-4+5-6+\cdots+27-28$ (4) $\ln 1+\ln 2+\ln 3+\cdots+\ln n$ (5) $1+\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+\cdots+\frac{1}{2048}$ (6) $a_{1} b_{1}+a_{2} b_{2}+a_{3} b_{3}+\cdots+a_{n} b_{n}$ (7) $1+3+5+7+\cdots+43$ (8) $z_{1}+z_{3}+z_{5}+\cdots+z_{33}=\sum_{k=0}^{16} z_{2k+1}$ (9) $z_{1}-z_{2}+z_{3}-z_{4}+\cdots+z_{31}-z_{32}$ (10) $1+2 x+3 x^{2}+4 x^{3}+\cdots+30 x^{29}$ (11) $1+\frac{x}{2}+\frac{x^{2}}{3}+\frac{x^{3}}{4}+\cdots+\frac{x^{19}}{20}$ (12) $a_{0} b_{9}+a_{1} b_{8}+a_{2} b_{7}+\cdots+a_{9} b_{0}$ (13) $a^{n-1}+a^{n-2} b+a^{n-3} b^{2}+\cdots+a^{2} b^{n-3}+a b^{n-2}+ b^{n-1}$ (14) $\mathrm{e}+\frac{1}{\mathrm{e}^{2}}+\mathrm{e}^{3}+\frac{1}{\mathrm{e}^{4}}+\cdots+\mathrm{e}^{21}+\frac{1}{\mathrm{e}^{22}}$

Mathématiques - PCSI¶

Calculs algébriques¶

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4.1.2 Changement d’indice dans une somme¶

Dans l’expression $\sum_{k=1}^{n} a_{k}$ la lettre $k$ est l’indice de sommation : c’est une variable muette.

On peut la remplac...