Mathématiques - PCSI¶

3¶

Compléments sur la dérivation¶

ET L’INTÉGRATION.¶

Lycée Lakanal 3 Avenue du Président Franklin Roosevelt 92330 Sceaux

3 Compléments sur la dérivation et l’intégration¶

Attention, cependant, on ne considère que des fonctions dont l’ensemble de définition est un intervalle ou une réunion d’intervalles de $\mathbb{R}$.

Fonctions à valeurs complexes.¶

Dans de nombreuses situations, il est commode de considérer des fonctions définies sur un intervalle à valeurs complexes. Soit $I$ un intervalle de $\mathbb{R}$ et $f: I \longrightarrow \mathbb{C}$ une fonction. On pose, pour tout $x \in I$,

de telle sorte que

• Les fonctions $u$ et $v$ sont appelées respectivement la partie réelle de $f$ et la partie imaginaire de $f$.

• La fonction conjuguée de $f$ est la fonction $\bar{f}$ définie par $\bar{f}=u-i v$.

• Le module de $f$ est la fonction $\left\lvert\, \begin{aligned} & I \longrightarrow \mathbb{R}^{+} \\ & x \mapsto|f(x)| \text {. }\end{aligned}\right.$

Exemple. Si $f$ est la fonction $f:\left\{\begin{array}{l}\mathbb{R} \longrightarrow \mathbb{C} \\ x \longmapsto e^{i x}\end{array}\right.$ alors $\operatorname{Re}(f)=\cos$ et $\operatorname{Im}(f)=\sin$. Les définitions des limites, de la continuité et de la dérivabilité s’étendent aisément aux cas des fonctions à valeurs complexes par l’intermédiaire des parties réelles et imaginaires.

Définitions. Soit $I$ un intervalle de $\mathbb{R}$ et $f: I \longrightarrow \mathbb{C}$ une fonction, $x_{0}$ un point de $I$ ou une extrémité de $I$, et $\ell \in \mathbb{C}$.

• On dit que $f(x)$ tend vers $\ell$ quand $x$ tend vers $x_{0}$ si le module $|f(x)-\ell|$ tend vers 0 quand $x$ tend vers $x_{0}$.

• Lorsque $f$ est définie en $x_{0}$, on dit que $f$ est continue en $x_{0}$ si le module $\left|f(x)-f\left(x_{0}\right)\right|$ tend vers 0 quand $x$ tend vers $x_{0}$.