RUDIMENTS DE LOGIQUE ET VOCABULAIRE ENSEMBLISTE
RUDIMENTS DE LOGIQUE ET VOCABULAIRE ENSEMBLISTE¶
Nous étudierons ce chapitre en parallèle de l’annexe « Raisonner, rédiger » qui, en dépit de ce statut, est sans doute le texte mathématique le plus important de l’année.
1 CONNECTEURS LOGIQUES ET QUANTIFICATEURS¶
On appelle proposition toute phrase p au sujet de laquelle on peut poser la question « p est-elle vraie ? » La plupart des phrases grammaticalement correctes sont des propositions, mais « Dis-le-moi ! », « Bonjour » ou « Comment vas-tu ? » n’en sont pas car la question « Est-il vrai que bonjour ? » n’a aucun sens.
La valeur de vérité d’une proposition est le vrai ou le faux — mais pas les deux. Deux propositions de même valeur de vérité sont dites équivalentes. Pour démontrer une proposition p, on n’est pas obligé de démontrer p elle-même, on peut démontrer n’importe quelle proposition équivalente. Par exemple, démontrer que « Socrate n’est pas immortel » revient à démontrer que « Socrate est mortel ».
À partir des propositions « J’ai faim » et « J’ai soif », on peut construire une nouvelle proposition « J’ai faim et (j’ai) soif ». Plus généralement, nous appellerons connecteur logique tout procédé de construction d’une proposition à partir d’une ou de plusieurs autres propositions. Exemples courants : « et », « ou », « si, alors », « parce que »...
Un connecteur logique est dit vérifonctionnel si la valeur de vérité d’une proposition construite à l’aide de ce connecteur dépend seulement de la valeur de vérité des propositions utilisées dans la construction. Pour savoir, par exemple, si la proposition « p et q » est vraie, on n’a pas besoin de savoir exactement ce que cachent p et q — leur signification — on a juste besoin de connaître leurs valeurs de vérité respectives. Si les deux sont vraies, la proposition « p et q » est vraie, et sinon elle est fausse.
En mathématiques, les connecteurs logiques utilisés sont tous vérifonctionnels.
Attention, certains co...