Mathématiques - PCSI¶

Equations différentielles¶

linéaires du 1er et 2nd ordre.¶

Lycée Lakanal 3 Avenue du Président Franklin Roosevelt 92330 Sceaux

6 Equations différentielles linéaires du 1er et 2nd ordre.¶

La lettre $I$ désigne un intervalle non trivial ( c -à-d. contenant au moins deux points) de $\mathbb{R}$ et la lettre $\mathbb{K}$ désigne l’ensemble $\mathbb{R}$ ou $\mathbb{C}$.

6.1 Généralités¶

On appelle équations différentielles les équations dont les inconnues sont des fonctions d’une ou plusieurs variables et faisant intervenir non seulement ces fonctions inconnues mais aussi les dérivées de ces fonctions inconnues, ainsi que la ou les variables indépendantes. Lorsque les fonctions inconnues sont des fonctions de plusieurs variables, ces équations sont appelées équations aux dérivées partielles. Les équations dont les fonctions inconnues sont des fonctions d’une seule variable sont appelées équations différentielles ordinaires.

Si $n$ est un entier positif non nul, une équation différentielle d’ordre $n$ est une équation différentielle dans laquelle intervient la dérivée d’ordre $n$ de la fonction inconnue. Par exemple,

est une équation différentielle du premier ordre tandis que

est une équation différentielle du second ordre.

Résoudre - ou intégrer - une équation différentielle , c’ est déterminer toutes les fonctions solutions $y: x \mapsto y(x)$ définies, en précisant pour chacune d’elles l’intervalle sur lequel elle est définie.

Les équations différentielles linéaires sont très importantes car on les rencontre constamment en physique, chimie, sciences de l’ingénieur ainsi que dans de nombreux autres domaines.

Dans la suite, on étudie

• d’abord les équations différentielles linéaires du premier ordre $y^{\prime}+a(x) y=b(x)$ où $a$ et $b$ sont des fonctions continues sur $I$ à valeurs dans $\mathbb{K}$

• puis les équations différentielles linéaires du second ordre $y^{\prime \prime}+a y^{\prime}+b y=f(x)$ où $a$ et $b$ sont des scalaires de $\mathbb{K}$ et $f$ une fonction continue de $I$ dans $\mathbb{K}$, en général de la forme $f: x \longmapsto \mathrm{e}^{m x} P(x)$ où $m \in \mathbb{K}$ et $P$ est une fonction polynômiale.

6.2 Etude de l’équation différentielle linéaire du premier ordre $y^{\prime}+a(x) y=b(x)$¶

L’équation diffrentielle linéaire du premier ordre la plus simple est : $y^{\prime}=b(x)$ où $b$ est une fonction continue sur un intervalle $I$ à valeurs dans $\mathbb{K}$. Dans ce cas, résoudre l’équation différentielle $y^{\prime}=b(x)$ c’est trouver toutes les fonctions dérivables sur $I$ admettant $b$ pour fonction dérivée.

L’ensemble des solutions de $y^{\prime}=b(x)$ est donc l’ensemble des primitives de la fonction continue $b$. Si $B$ est l’une d’entre elle, alors l’ensemble des solutions de $y^{\prime}=b(x)$ est

Une fonction constante sur $I$ admettant une dérivée nulle sur $I$, on constate que toutes les solutions de $y^{\prime}=b(x)$ sont obtenues en ajoutant à l’une d’entre elle, ici la fonction $B$, toutes les solutions de l’équation homogène associée $y^{\prime}=0$.

On s’intéresse désormais à l’équation différentielle $(E): y^{\prime}+a(x) y=b(x)$ où $a, b$ sont des fonctions continues sur $I$.

Définition. On appelle équation différentielle homogène associée à ( $E$ ) l’équation différentielle $\left(E_{0}\right): y^{\prime}+a(x) y=0$.

Les propriétés suivantes donnent la structure de l’ensemble des solutions de ( $E_{0}$ ) et (E) :

Proposition. Soient $\varphi_{1}$ et $\varphi_{2}$ deux solutions définies sur l’intervalle I de l’équation différentielle linéaire homogène ( $E_{0}$ ) et $\alpha \in \mathbb{K}$. Alors $\alpha \varphi_{1}+\varphi_{2}$ est encore solution sur I de ( $E_{0}$ ).

Si $\varphi_{p}$ est une solution particulière de l’équation $(E)$ alors $\varphi: I \longmapsto \mathbb{K}$ est une solution de ( $E$ ) si et seulement si

c’-à-d. si $\varphi-\varphi_{p}$ est solution de l’équation homogène $\left(E_{0}\right): y^{\prime}+a(x) y=0$

Théorème. Si $\varphi_{p}$ est une solution particulière de ( $E$ ) alors on obtient toutes les solutions de $(E)$ en ajoutant à $\varphi_{p}$ toutes les solutions de l’équation homogène $\left(E_{0}\right)$ :

En notant $\mathscr{S}$ l’ensemble des solutions de $(E)$ et $\mathscr{S}_{0}$ l’ensemble des solutions de ( $E_{0}$ ) :

6.2.1 Résolution de l’équation différentielle homogène¶

Soit $a: I \longmapsto \mathbb{K}$ une fonction continue et $A$ une primitive sur $I$ de $a$. $y: I \longmapsto \mathbb{K}$ est solution de $(E)$ ssi

Théorème. Soit $a: I \longmapsto \mathbb{K}$ une fonction continue et $A$ une primitive sur $I$ de $a$. L’ensemble des solutions de ( $E_{0}$ ) est l’ensemble des fonctions de la forme $\varphi$ : $\left\lvert\, \begin{aligned} & I \rightarrow \mathbb{K} \\ & x \longmapsto K \mathrm{e}^{-A(x)} \text { où } K \text { est un scalaire de } \mathbb{K}\end{aligned}\right.$

On dit que $\mathscr{S}_{0}$ est la droite vectorielle engendrée par $\mathrm{e}^{-A}$.

Remarque. On énonce aussi cela en disant que la solution générale de ( $E_{0}$ ) est $\varphi: x \longmapsto K \mathrm{e}^{-A(x)}$ où $K \in \mathbb{K}$.

Remarque importante. Toute solution sur I de l’équation homogène $y^{\prime}+a(x) y=0$ autre que la fonction nulle ne s’annule en aucun point de $I$. Exemples. (1) La solution générale sur $\mathbb{R} \operatorname{de}\left(E_{0}\right): y^{\prime}+x y=0$ est $x \longmapsto K \mathrm{e}^{-\frac{x^{2}}{2}}$ où $K \in \mathbb{K}$. (2) La solution générale sur $] 0,+\infty\left[\operatorname{de}\left(E_{0}\right): y^{\prime}+\frac{1}{x} y=0\right.$ est $x \longmapsto \frac{K}{x}$ où $K \in \mathbb{K}$. (3) La solution générale sur $\mathbb{R}$ de $\left(E_{0}\right): y^{\prime}+i y=0$ est $x \longmapsto K \mathrm{e}^{-i x}$ où $K \in \mathbb{C}$. (4) La solution générale sur $\mathbb{R}$ de $\left(E_{0}\right): y^{\prime}+(2-3 i) y=0$ est $x \longmapsto K \mathrm{e}^{-2 x} \mathrm{e}^{3 i x}$ où $K \in \mathbb{C}$.

6.2.2 Recherche d’une solution particulière pour l’équation différentielle avec second membre¶

• Cas où les fonctions $a, b$ sont constantes et $a \neq 0$ : une solution particulière de $y^{\prime}+ a y=b$ est la fonction $x \longmapsto \frac{b}{a}$. La solution générale de $(E)$ sur $\mathbb{R}$ est alors $x \longmapsto \frac{b}{a}+K \mathrm{e}^{-a x}$ où $K \in \mathbb{K}$.

Exemple. Résoudre l’équation différentielle : $y^{\prime}+i y=(1+i)$. Cas où $a$ est constante et $b$ est une fonction polynôme : on cherche une solution particulière sous la forme $y(x)=Q(x)$ où $Q$ est une fonction polynôme de même degré que $b$.

Exemples. (1) $(E): y^{\prime}+3 y=1+x^{2}$ On cherche une solution sous la forme $y(x)=p x^{2}+q x+r$ :

donc $y$ est solution de $(E)$ ssi $\left\{\begin{aligned} 3 p & =1 \\ 3 q+2 p & =0 \\ 3 r+q & =1\end{aligned}\right.$, ce qui donne $p=\frac{1}{3}, q=-\frac{2}{9}$ et $r=\frac{11}{27}$. (2) $(E): y^{\prime}+3 y=1+3 x$

Une solution particulière évidente est $y: x \longmapsto x$.

• Cas où $a$ est constante non nulle et $b$ est une fonction exponentielle-polynôme de la forme $b(x)=\mathrm{e}^{m x} P(x), m \in$ On cherche une solution sous la forme $y(x)=\mathrm{e}^{m x} Q(x)$ où $Q$ est un polynôme :

ce qui ramène le problème à la recherche d’un polynôme $Q$ vérifiant $Q^{\prime}+(a+m) Q=P$.

Résolution de $(E): y^{\prime}+a y=\mathrm{e}^{m x} P(x)$ où $m \in \mathbb{K}$ et $P$ polynôme.¶

• si $m=0$, on cherche une solution polynômiale $x \longmapsto Q(x)$ avec $\operatorname{deg}(Q)=$ deg( $P$ );

• si $m \neq 0$ et $a+m \neq 0$, on cherche une solution particulière sous la forme $y(x)=\mathrm{e}^{m x} Q(x)$ avec $\operatorname{deg}(Q)=\operatorname{deg}(P) ;$

• si $m \neq 0$ et $a+m=0$, on cherche une solution particulière sous la forme $y(x)=\mathrm{e}^{m x} Q(x)$ avec $\operatorname{deg}(Q)=1+\operatorname{deg}(P)$

Exemple. Soit (E) l’équation différentielle $y^{\prime}-2 y=(2 x+1) \mathrm{e}^{2 x}$.

• La solution générale sur $\mathbb{R}$ de l’équation homogène est $x \longmapsto K \mathrm{e}^{2 x}$ où $K \in \mathbb{K}$.

• On cherche une solution particulière sous la forme $y(x)=\mathrm{e}^{2 x}\left(a x^{2}+b x\right)$. Par calcul

donc une solution particulière est obtenue pour $a=1$ et $b=1$.

• La solution générale sur $\mathbb{R}$ de $(E)$ est donc $x \longmapsto\left(x^{2}+x+K\right) \mathrm{e}^{2 x}$ où $K \in \mathbb{K}$.

• Cas général : solution particulière de $y^{\prime}+a(x) y=b(x)$ par la méthode de la variation de la constante.

Méthode de la variation de la constante. Soit $a: I \mapsto \mathbb{K}$ une fonction continue et $A$ une primitive sur $I$ de $a$.

On cherche une solution particulière de $(E)$ sous la forme $y(x)=K(x) \mathrm{e}^{-A(x)}$ où $K$ est une fonction inconnue dérivable sur $I$. Pour tout $x \in I$ :

donc

Par conséquent, $y$ est solution de $(E)$ ssi : $\forall x \in I, K^{\prime}(x)=b(x) \mathrm{e}^{A(x)}$.

La fonction $x \longmapsto b(x) \mathrm{e}^{A(x)}$ est continue sur $I$ donc admet une primitive sur $I$ et on pose

La solution générale de $(E)$ est alors $y: x \longmapsto(K(x)+C) \mathrm{e}^{-A(x)}$ où $C \in \mathbb{K}$.

Exemples. (1) Soit ( $E$ ) l’équation différentielle $y^{\prime}-\frac{3}{2 x} y=\frac{1}{2 \sqrt{x}}$.

L’intervalle de résolution est $I=] 0,+\infty[$.

• La solution de l’équation homogène est $x \longmapsto K x^{\frac{3}{2}}$ où $K \in \mathbb{K}$.

• On cherche une solution particulière de $(E)$ sous la forme $y(x)=K(x) x^{\frac{3}{2}}$ où $K$ est une fonction dérivable sur $] 0,+\infty\left[: y\right.$ est solution de $(E)$ sur $I$ ssi $K^{\prime}(x)=\frac{1}{2 \sqrt{x}} \times x^{-\frac{3}{2}}= \frac{1}{2} \times x^{-2}$ donc on prend $K(x)=\frac{-1}{2 x}$ ce qui donne $x \longmapsto \frac{-1}{2 x} \times x^{\frac{3}{2}}=-\frac{1}{2} \sqrt{x}$ comme solution particulière de ( $E$ ).

• La solution générale de ( $E$ ) est donc $y: x \longmapsto-\frac{1}{2} \sqrt{x}+K x^{\frac{3}{2}}$.

6.2.3 Principe de superposition¶

Théorème. Soit $a, b_{1}, b_{2}: I \longrightarrow \mathbb{K}$ des fonctions continues. Si $y_{1}$ est une solution de $y^{\prime}+a(x) y=b_{1}(x)$ et $y_{2}$ une solution de $y^{\prime}+a(x) y=b_{2}(x)$ alors $y_{1}+y_{2}$ est une solution de $y^{\prime}+a(x) y=b_{1}(x)+b_{2}(x)$.

Exemple. Soit ( $E$ ) l’équation différentielle $y^{\prime}+y=2 \mathrm{e}^{x}+4 \sin (x)+3 \cos (x)$.

• La solution de l’équation homogène est $x \longmapsto K \mathrm{e}^{-x}$ où $K \in \mathbb{K}$.

On décompose le second membre en $b_{1}(x)+b_{2}(x)$ où $b_{1}(x)=2 \mathrm{e}^{x}$ et $b_{2}(x)=4 \sin (x)+ 3 \cos (x)$ puis on cherche une solution particulière de

• Une solution particulière de ( $E_{1}$ ) est $x \longmapsto \mathrm{e}^{x}$ (évidente).

• On cherche une solution de $\left(E_{2}\right)$ sous la forme $y(x)=a \cos (x)+b \sin (x)$ où $(a, b) \in \mathbb{K}^{2}$. Par calcul $y^{\prime}+y=-a \sin (x)+b \cos (x)+a \cos (x)+b \sin (x)=(a+b) \cos (x)+(b-a) \sin (x)$ donc $y$ est solution de $\left(E_{2}\right)$ ssi $\left\{\begin{aligned} a+b & =3 \\ -a+b & =4 .\end{aligned}\right.$ On trouve $b=\frac{7}{2}$ et $a=-\frac{1}{2}$ ce qui donne $x \longmapsto-\frac{1}{2} \cos (x)+\frac{7}{2} \sin (x)$ comme solution particulièrede ( $E_{2}$ ).

• La solution générale de l’équation $(E)$ est $x \longmapsto \mathrm{e}^{x}-\frac{1}{2} \cos (x)+\frac{7}{2} \sin (x)+K \mathrm{e}^{-x}$ où $K \in \mathbb{K}$.

Exercice 1. Résoudre l’équation différentielle $y^{\prime}-y=x^{2} \operatorname{sh}(x)$.

6.2.4 Problème de Cauchy¶

La solution générale de l’équation différentielle $y^{\prime}+a(x) y=b(x)$ comporte une constante $K$ indéterminée. En imposant une condition initiale à la solution, la constante $K$ est alors déterminée.

Soient $x_{0} \in I$ et $y_{0} \in \mathbb{K}$. La recherche de solutions de ( $E$ ) vérifiant les égalités

appelée condition initiale, constitue le problème de Cauchy .

Proposition. Soient $a: I \longrightarrow \mathbb{K}, b: I \rightarrow \mathbb{K}$ des fonctions continues et $\left(x_{0}, y_{0}\right) \in I \times \mathbb{K}$ Il existe une unique solution à l’équation différentielle $y^{\prime}+a(x) y=b(x)$ vérifiant la condition $y\left(x_{0}\right)=y_{0}$.

Exemple. Résoudre le problème $(C)$ : $\left\{\begin{aligned} y^{\prime}+\frac{x}{1+x^{2}} y & =\frac{1}{1+x^{2}} \\ y(0) & =0\end{aligned}\right.$

• La solution sur $\mathbb{R}$ de l’équation homogène est $x \longmapsto K\left(1+x^{2}\right)^{-\frac{1}{2}}$.

• On cherche une solution particulière de l’équation avec second membre sous la forme $y(x)=\frac{K(x)}{\sqrt{1+x^{2}}}$ où $K$ est une fonction d’erivable sur $\mathbb{R}$ :

donc $y$ est solution de l’équation avec second membre ssi $\frac{K^{\prime}(x)}{\sqrt{1+x^{2}}}=\frac{1}{1+x^{2}}$, c’-à-d. ssi $K^{\prime}(x)=\frac{1}{\sqrt{1+x^{2}}}$.

Le changement de variable $x=\operatorname{sh}(t)$ donne

donc une solution particulière de l’équation avec second membre est $x \longmapsto \frac{\ln \left(x+\sqrt{1+x^{2}}\right)}{\sqrt{1+x^{2}}}$

• La solution générale sur $\mathbb{R}$ de l’équation avec second membre est $y: x \longmapsto \frac{\ln \left(x+\sqrt{1+x^{2}}\right)+K}{\sqrt{1+x^{2}}}$ où $K \in \mathbb{R}$.

La condition initiale $y(0)=0$ impose $K=0$ donc la solution du problème de Cauchy est $x \longmapsto \frac{\ln \left(x+\sqrt{1+x^{2}}\right)}{\sqrt{1+x^{2}}}$.

6.2.5 Cas d’une équation non résolue en $y^{\prime}$¶

Exercice 2. Résoudre sur $\mathbb{R}$ l’équation différentielle : $x y^{\prime}+|x| y=x^{2} \mathrm{e}^{-|x|}$.

6.3 Equations différentielles linéaires du second ordre à coefficients constants.¶

Soient $a, b$ des nombres complexes non nuls tels que $b \neq 0$ et $f: I \longrightarrow \mathbb{K}$ une fonction continue. On étudie l’équation différentielle

On note ( $E_{0}$ ) l’équation différentielle homogène associée à ( $E$ ), c’est à dire ( $E$ ): $y^{\prime \prime}+a y^{\prime}+ b y=0$.

Résoudre $(E)$, c’est trouver toutes les fonctions $\varphi$ deux fois dérivables sur $I$ telles que :

Proposition. Si $\varphi_{p}$ est une solution particulière de ( $E$ ) alors on obtient toutes les solutions de $(E)$ en ajoutant à $\varphi_{p}$ les solutions de l’équation homogène ( $E_{0}$ ).

La propriété suivante précise la structure de l’ensemble des solutions de ( $E_{0}$ ) :

Proposition. Si $y_{1}$ et $y_{2}$ sont deux solutions de $\left(E_{0}\right)$ et si $\lambda \in \mathbb{K}$ alors $\lambda y_{1}+y_{2}$ est une solution de ( $E_{0}$ ).

6.3.1 Résolution de l’équation différentielle homogène ( $E_{0}$ )¶

Il existe deux nombres complexes $r_{1}$ et $r_{2}$ tels que $\left\{\begin{array}{r}r_{1}+r_{2}=-a \\ r_{1} r_{2}=b,\end{array}\right.$ il s’agit des solutions de l’équation $r^{2}+a r+b=0$.

Définition. L’équation $r^{2}+a r+b=0$ s’appelle équation caractéristique de l’équation différentielle $y^{\prime \prime}+a y^{\prime}+b y=0$.

Soit $y$ une solution de $\left(E_{0}\right)$ et $z=y^{\prime}-r_{1} y$. Alors :

donc $y$ est solution du système différentiel

Réciproquement, si $y$ est une solution de $(S)$ alors on vérifie que $y^{\prime \prime}+a y^{\prime}+b y=0$. Ainsi, l’équation ( $E$ ) se ramène à la résolution du système ( $S$ ).

• La solution générale complexe de $z^{\prime}-r_{2} z=0$ est $x \longmapsto K \mathrm{e}^{r_{2} x}$ où $K \in \mathbb{C}$.

• La solution générale complexe de $y^{\prime}-r_{1} y=0$ est $x \longmapsto L \mathrm{e}^{r_{1} x}$ où $L \in \mathbb{C}$.

• On cherche une solution particulière de $y^{\prime}-r_{1} y=z$ sous la forme $y(x)=L(x) \mathrm{e}^{r_{1} x}$ où $L$ est une fonction dérivable sur $\mathbb{R}$. Après calculs, on trouve

— Si $r_{1} \neq r_{2}$ alors la solution générale de $y^{\prime}-r_{1} y=z$ est $x \longmapsto L \mathrm{e}^{r_{1} x}+M \mathrm{e}^{r_{2} x}$ où $(L, M) \in \mathbb{C}^{2}$;

• Si $r_{1}=r_{2}$ alors on prend $L(x)=K x+M$ et la solution générale de $y^{\prime}-r_{1} y=z$ est alors $x \longmapsto(A x+B) \mathrm{e}^{r_{1} x}$ où $(A, B) \in \mathbb{C}^{2}$;

Théorème. Soient $a, b$ des nombres complexes tels que $b \neq 0$ et ( $E_{0}$ ) l’équation différentielle homogène $y^{\prime \prime}+a y^{\prime}+b y=0$. (1) Si l’équation caractéristique $r^{2}+a r+b=0$ admet deux racines distinctes $r_{1}$ et $r_{2}$, la solution générale de ( $E_{0}$ ) est

(2) Si l’équation caractéristique $r^{2}+a r+b=0$ admet une racine double $r$, la solution générale de ( $E_{0}$ ) est

Exemple. Résoudre l’équation différentielle $y^{\prime \prime}+2 y^{\prime}+2=0$ L’équation caractéristique est $r^{2}+2 r+2=0$ et admet $-1 \pm i$ pour racines donc la solution générale complexe est $x \longmapsto L \mathrm{e}^{(-1+i) x}+M \mathrm{e}^{(-1-i) x}$ où $(L, M) \in \mathbb{C}^{2}$.

Description des solutions réelles de l’équation $y^{\prime \prime}+a y^{\prime}+b y=0$ lorsque $(a, b) \in \mathbb{R}^{2}$ Dans le cas où $a$ et $b$ sont réels, on peut s’intéresser aux solutions réelles de l’équation différentielle $y^{\prime \prime}+a y^{\prime}+b y=0$. L’équation caractéristique $r^{2}+a r+b=0$ peut avoir ici soit deux racines distinctes, soit une racine double, soit deux racines complexes conjuguées. (1) Lorsque l’équation caractéristique admet deux racines complexes conjuguées $\alpha+i \beta$ et $\alpha-i \beta$ où $\beta \neq 0$, la solution générale à valeurs complexes est

$$

y: x \longmapsto \mu_{1} \mathrm{e}^{(\alpha+i \beta) x}+\mu_{2} \mathrm{e}^{(\alpha-i \beta) x} \text { où }\left(\mu_{1}, \mu_{2}\right) \in \mathbb{C}^{2}, $$

et $y$ est une solution réelle si et seulement si $y=\bar{y}$ :

En évaluant en $x=0$, on obtient $\mu_{1}-\overline{\mu_{2}}=\overline{\mu_{1}}-\mu_{2}$ puis en évaluant en $x=\frac{\pi}{2 \beta}$, on obtient $\mu_{1}-\overline{\mu_{2}}=-\overline{\mu_{1}}+\mu_{2}$ ce qui implique $\mu_{2}=\overline{\mu_{1}}$. Réciproquement, si $\mu_{2}=\overline{\mu_{1}}$ alors $y(x)=\mathrm{e}^{\alpha x}\left(\mu_{1} \mathrm{e}^{i \beta x}+\overline{\mu_{1} \mathrm{e}^{i \beta x}}\right)$ ou encore

(2) Lorsque l’équation caractéristique admet une racine double $r$, la soluton générale complexe est $y: x \longmapsto(L x+M) \mathrm{e}^{r x}:$

donc la solution générale réelle est $x \longmapsto(L x+M) \mathrm{e}^{r x}$ où $(L, M) \in \mathbb{R}^{2}$. (3) Lorsque l’équation caractéristique admet deux racines réelles distinctes $r_{1}<r_{2}$, la solution générale complexe est $y: x \longmapsto L \mathrm{e}^{r_{1} x}+M \mathrm{e}^{r_{2} x}$ où $(L, M) \in \mathbb{C}^{2}$ :

En évaluant la limite quand $x \rightarrow-\infty$, on obtient $L=\bar{L}$ c’est-à-dire $L \in \mathbb{R}$, puis en évaluant en $x=0$, on obtient $M=\bar{M}$, c’est-à-dire $M \in \mathbb{R}$. La solution générale réelle dans ce cas est y: $x \longmapsto L \mathrm{e}^{r_{1} x}+M \mathrm{e}^{r_{2} x}$ où $(L, M) \in \mathbb{R}^{2}$.

Proposition. Soient $a, b$ des réels tels que $a \neq 0$ et ( $E_{0}$ ) l’équation différentielle homogène $y^{\prime \prime}+a y^{\prime}+b y=0$. (1) Si l’équation caractéristique $r^{2}+a r+b=0$ admet deux racines réelles distinctes $r_{1}$ et $r_{2}$, la solution générale de ( $E_{0}$ ) est

(2) Si l’équation caractéristique $r^{2}+a r+b=0$ admet une racine réelle double $r$, la solution générale de ( $E_{0}$ ) est

(3) Si l’équation caractéristique $r^{2}+a r+b=0$ admet deux racines complexes conjuguées $\alpha+i \beta$ et $\alpha-i \beta$, la solution générale (réelle) de ( $E_{0}$ ) est

Expected 'EOF', got '̀' at position 110: … x)\right) o u ̲̀\left(\lambda_{…

y: x \longmapsto \mathrm{e}^{\alpha x}\left(\lambda_{1} \cos (\beta x)+\lambda_{2} \sin (\beta x)\right) o u ̀\left(\lambda_{1}, \lambda_{2}\right) \in \mathbb{R}^{2}

6.3.2 Résolution de l’équation différentielle avec second membre¶

Proposition. Soient $f_{1}, f_{2}: I \longrightarrow \mathbb{K}$ deux fonctions continues et les équations différentielles

Si $y_{1}$ est une solution de $\left(E_{1}\right)$ et $y_{2}$ une solution de $\left(E_{2}\right)$ alors $y_{1}+y_{2}$ est une solution de $y^{\prime \prime}+a y^{\prime}+b y=f_{1}(x)+f_{2}(x)$.

On considère l’équation différentielle $y^{\prime \prime}+a y^{\prime}+b y=f(x)$ où $(a, b) \in \mathbb{C}^{2}$ tels que $a \neq 0$ et $f$ une fonction continue sur $I$ à valeurs dans $\mathbb{K}$. L’équation différentielle homogène étant résolue, il reste à trouver une solution particulière. Solutions apparentes. Dans de nombreux cas, on peut deviner la forme d’une solution à partir de celle du second membre.

• Lorsque la fonction $f$ est polynômiale de degré $n \in \mathbb{N}$, on recherche une solution sous forme d’une fonction polynômiale en appliquant le principe d’identification. Plus précisément, si $Q$ est une fonction polynômiale de degré $d$ alors $Q^{\prime \prime}+a Q^{\prime}+b Q$ est une fonction polynômiale

• de degré $d$ si $b \neq 0$;

• de degré $d-1$ si $b=0$ et $a \neq 0$; — de degré $d-2$ si $a=b=0$. Si le second membre $f$ est polynômiale de degré $n \in \mathbb{N}$, on cherche une solution $Q$ polynômiale — de degré $n$ si $b \neq 0$;

• de degré $n+1$ si $b=0$ et $a \neq 0$;

• de degré $n+2$ si $a=b=0$. — Lorsque la fonction $f$ est définie par $f(x)=P(x) \mathrm{e}^{\omega x}$ où $P$ est une fonction polynômiale, on peut rechercher une solution sous la forme $y(x)=Q(x) \mathrm{e}^{w x}$. La formule (F) établie plus haut donne alors