Mathématiques - PCSI¶

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Rappels et compléments¶

Lycée Lakanal 3 Avenue du Président Franklin Roosevelt 92330 Sceaux

1 Rappels et compléments.¶

1.1 Sur les nombres.¶

1.1.1 Les réels¶

• Les (nombres) entiers naturels sont les nombres entiers positifs ou nuls tels que $0,1,2,3,4,5, \ldots, 173$ etc. L’ensemble des entiers naturels se note $\mathbb{N}$. — Un (nombre) entier relatif est un entier positif ou négatif. L’ensemble des entiers relatifs se note $\mathbb{Z}$

• Par défaut, un entier désigne un entier relatif. La somme et le produit de deux entiers sont des entiers. — Un entier pair est un entier divisible par 2 , c’est à dire qu’il peut s’écrire sous la forme $2 k$ où $k$ est un entier.

• Un entier impair est un entier qui peut se mettre sous la forme $2 k+1$ où $k$ est un entier.

Notation. Soient $a$ et $b$ deux entiers relatifs tels que $a \leq b$. La notation $\llbracket a, b \rrbracket$ désigne l’ensemble des entiers $p$ compris entre $a$ et $b$ :

La notation $\llbracket a,+\infty \rrbracket={p \in \mathbb{Z} \mid p \geq a} .

• Les (nombres) rationnels sont les nombres fractionnaires (fractions) qui peuvent s’écrire sous la forme $\frac{m}{n}$ où $m$ et $n$ sont des entiers, l’entier $n$ étant non nul. Des nombres tels que $\frac{1}{3}, \frac{2}{5},-\frac{6}{17},-\frac{17}{213}, \ldots$ sont des nombres rationnels.

• La fraction $\frac{m}{n}$ est dite irréductible lorsque les entiers $m$ et $n$ n’ont aucun diviseur en commun autre que 1 ou -1 .

• Les entiers sont aussi des rationnels puisque tout entier $m$ s’écrit aussi $\frac{m}{1}$.

L’ensemble des nombres rationnels se note $\mathbb{Q}$.

• Un nombre décimal est un rationnel de la forme $\frac{m}{10^{n}}$ où $m \in \mathbb{Z}$ et $n \in \mathbb{N}$.

Par exemple, $\frac{21}{100} ; \frac{7}{25} ; 0,247$ sont des nombres décimaux. L’ensemble des nombres décim...