Chapitre 2: nombres complexes¶

Ensemble des nombres complexes¶

Existence admise:¶

Notation: $\mathbb{C}$
Tout nombre complexe $z \in \mathbb{C}$ s’écrit sous la forme $z = a + bi$ où $a \in \mathbb{R}, b \in \mathbb{R}$ et $i^2 = -1$ . Cette écriture est

z = a + bi

(1)

partie réelle. $\uparrow$ de $z$ notée $\operatorname{Re}(z)$ , partie imaginaire de $z$ notée $\operatorname{Im}(z)$

Représentation dans le plan complexe
$\varphi: \mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{C}$
$(a ; b) \mapsto a + bi$
est une bijection

MS’ appelle image du nombre complexe $z$ dans le plan complexe $z = a + bi$ est appelé affixe du point $M(a, b)$

On peut aussi voir les éléments du plan comme des vecteurs et dans ce cas: $\overrightarrow{OM}$ est le vecteur image du nombre complexe $z = a + bi$

$z$ est l’affixe du vecteur $\overrightarrow{OM}$

L’axe $(0, \vec{u})$ : axe réel
L’axe $(0, \vec{v})$ : axe imaginaire
L’écriture $z = a + bi$ d’un nombre complexe est

z = z' \text{ ssi } \left\{\begin{array}{l} \operatorname{Re}(z) = \operatorname{Re}(z') \\ \operatorname{Im}(z) = \operatorname{Im}(z') \end{array}\right.

(2)

Opérations
Soit $z = a + bi \in \mathbb{C}$

z' = a' + b'i \in \mathbb{C}

(3)

$z + z' := (a + a') + (b + b')i$

\begin{aligned} & \operatorname{Re}(z + z') = \operatorname{Re}(z) + \operatorname{Re}(z') \\ & \operatorname{Im}(z + z') = \operatorname{Im}(z) + \operatorname{Im}(z') \end{aligned}

(4)

\begin{aligned} z \times z' & = (a + bi) \times (a' + b'i) \\ & = (aa' - bb') + (ab' + a'b)i \end{aligned}

(5)

Exemple:¶

$(1 + i\sqrt{3})^3 = 1 + 3\sqrt{3}i - 3 - 3\sqrt{3}i = -8$
$(a + bi)(a - bi) = a^2 + b^2$
$\frac{2 + 3i}{1 + i} = \frac{(2 + 3i)(1 - i)}{2} = \frac{2 - 2i + 3i + 3}{2} = \frac{5 + i}{2} = \frac{5}{2} + \frac{1}{2}i$

Conjugaison
Soit $z = a + bi \in \mathbb{C}$
Le conjugué de $z$ est: $\bar{z} = a - bi$
La conjugaison est l’application $\sigma: \left\l...