ANALYSE HARMONIQUE DES SLCI Cours 4¶

kanal cité scolatre

1 De la réponse temporelle à la réponse fréquentielle¶

1.1 Réponse fréquentielle¶

On appelle réponse fréquentielle (harmonique), la réponse temporelle du système linéaire décrit par une équation différentielle pour une entrée sinusoïdale : $e(t)=E_{0} \cdot \sin (\omega t) \cdot u(t)$ .

Comme toute entrée peut être décomposée en une somme de sinus (Transformée de Fourier), le signal sinusoïdal est sans doute le signal le plus utilisé pour analyser le comportement dynamique d’un système.

Considérons une équation différentielle linéaire à coefficients constants reliant l’entrée $e(t)$ à la sortie $s(t)$ suivante :

a_{0} \cdot s(t)+a_{1} \frac{d s(t)}{d t}+\ldots+a_{n} \frac{d^{n} s(t)}{d t^{n}}=b_{0} \cdot e(t)+b_{1} \frac{d e(t)}{d t}+\ldots+b_{m} \frac{d^{m} s(t)}{d t^{m}}

(1)

Pour des conditions initiales nulles, la transformée de Laplace de cette équation est :

a_{0} \cdot S(p)+a_{1} \cdot p \cdot S(p)+\ldots+a_{n} \cdot p^{n} S(p)=b_{0} \cdot E(p)+b_{1} \cdot p \cdot E(p)+\ldots+b_{m} \cdot p^{m} \cdot E(p) .

(2)

ce qui nous donne la fonction de transfert suivante :

H(p)=\frac{b_{0}+b_{1} \cdot p+\ldots+b_{m} \cdot p^{m}}{a_{0}+a_{1} \cdot p+\ldots+a_{n} p^{n}}

(3)

Prenons une entrée $e(t)$ sinusoïdale, $e(t)=E_{0} \cdot \sin (\omega t) \cdot u(t)$ . Sa transformée de Laplace vaut alors :

E(p)=E_{0} \frac{\omega}{p^{2}+\omega^{2}}

(4)

Pour obtenir la réponse $s(t)$ du système, on utilise la transformée de Laplace inverse $s(t)=\mathcal{L}^{-1}(S(p))$ avec $S(p)=H(p) \cdot E(p)$ :

S(p)=E_{0} \frac{\omega}{p^{2}+\omega^{2}} \cdot \frac{b_{0}+b_{1} \cdot p+\ldots+b_{m} \cdot p^{m}}{a_{0}+a_{1} \cdot p+\ldots+a_{n} \cdot p^{n}}

(5)

Pour appliquer la transformée de Laplace inverse, il nous faut décomposer $S(p)$ en éléments simples :

Les termes issus de la décomposition du dénominateur de $H(p): \frac{A}{p+a}, \frac{B}{(p+a)^{2}}, \frac{C(p+a)}{(p+a)^{2}+\omega^{2}}, \frac{D}{...